הוכחה מאוחדת – תאלס: שוויון הקטעים \(QP = PR\)
מסלול בן 3 שלבים: תאלס (שעון-חול) → תאלס במשולש \(PDC\) (הרחבה) → כלל מעבר והסקת שוויון.
נתונים ושאיפה
- \(AB \parallel DC\) וגם \(QR \parallel AB\) ולכן \(QR \parallel DC\).
- הנקודות \(A\in QD,\; B\in RC\), וקו \(AB\) מקביל ל-\(QR,DC\).
- נדרש להוכיח: \(\;QP = PR\).
- (לרצף בעיות: לעתים נסמן \(AB=b,\; CD=a\) — לא נדרש כאן להוכחה.)
ההוכחה נשענת על משפט תאלס (“שעון-חול”) ללא צורך בדמיון מפורש של משולשים.
התרשים
שלב 1 – קביעת יחס בעזרת תאלס (שעון-חול)
| טענה | נימוק |
|---|---|
| במשולש \(PDC\) עם \(QR\parallel DC\) מתקיים: \[ \frac{PQ}{DC}=\frac{PA}{AD}. \] | קו מקביל לבסיס חותך את האלכסון \(PAD\) – משפט תאלס (שעון-חול). |
| וכן מתקיים: \[ \frac{PR}{DC}=\frac{PA}{AD}. \] | אותו נימוק בדיוק על האלכסון \(PCD\) (אותו בסיס מקביל \(QR\)). |
שלב 2 – תאלס במשולש \(PDC\) (הרחבה 1)
| טענה | נימוק |
|---|---|
| נגדיר \(\displaystyle \lambda:=\frac{PA}{AD}\). עבור כל קטע \(PX\) היוצא מ-\(P\) ופוגש את \(QR\) (כש-\(QR\parallel DC\)) מתקיים: \[ \frac{PX}{DC}=\lambda. \] בפרט, \[ \frac{PQ}{DC}=\lambda \quad\text{ו}\quad \frac{PR}{DC}=\lambda. \] | משפט תאלס במבנה המורחב: ב־\(PDC\) עם ישר מקביל לבסיס \(DC\) מתקבל יחס קבוע מן הקודקוד \(P\) אל הבסיס המקביל – אותו יחס לכל הקרניים מ-\(P\). |
| לכן: \[ \frac{PQ}{DC}=\frac{PR}{DC}=\lambda. \] | כלל מעבר: שתי המנות שוות לאותו ערך \(\lambda\). |
שלב 3 – הסקת השוויון
| טענה | נימוק |
|---|---|
| \[ \frac{PQ}{DC}=\frac{PR}{DC} \;\Longrightarrow\; \boxed{QP=PR}. \] | המכנה \(DC>0\) זהה בשתי המנות ⇒ שוויון מונים. |
מ.ש.ל
שלב 2 – תאלס במשולש \(PDC\) (הרחבה 1)
| טענה | נימוק |
|---|---|
| נגדיר \(\displaystyle \lambda:=\frac{PA}{AD}\). במשולש \(PDC\) עם \(QR\parallel DC\) מתקיים לכל קטע \(PX\) היוצא מ־\(P\) ופוגש את \(QR\): \[ \frac{PX}{DC}=\lambda. \] בפרט, \[ \frac{PQ}{DC}=\lambda \quad\text{ו}\quad \frac{PR}{DC}=\lambda. \] | משפט תאלס (שעון-חול) במבנה המורחב: כאשר ישר מקביל לבסיס \(DC\), היחס מן הקודקוד \(P\) אל הבסיס המקביל הוא יחיד וקבוע עבור כל הקרניים מ-\(P\). |
| לכן מתקבל: \[ \frac{PQ}{DC}=\frac{PR}{DC}. \] | כלל מעבר: שתי המנות שוות לאותו \(\lambda\). |
פתרון מלא – תאלס: \(DC\) ויחסי שטחים
עובדים אך ורק עם משפט תאלס (ללא דמיון מפורש), ומשתמשים בגובה משותף ליחסי שטחים.
נתונים ושאיפה
- \(AB\) ו-\(EF\) מקבילים (אורכים נתונים: \(AB=m,\; EF=n\)).
- \(D\) היא נקודת החיתוך של האלכסונים \(AF\) ו-\(BE\).
- \(DC\parallel EF\) וגם \(BC\subset BF\).
- להוכיח:
- \(DC=\dfrac{m\cdot n}{m+n}\).
- \(\displaystyle \frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle DEF}}=\frac{m^2}{n^2}\).
- \(\displaystyle \frac{S_{\triangle BDC}}{S_{\triangle ABD}}=\frac{n}{m+n}\).
הערה: לא נשתמש בדמיון משולשים במפורש; כל היחסים נגזרים מתאלס. בחלק ב'.2 נשתמש גם בכלל “גובה משותף → יחס שטחים כיחס בסיסים”.
התרשים
סעיף א' – הוכחת \( \displaystyle DC=\frac{m\cdot n}{m+n}\)
| טענה | נימוק |
|---|---|
| \(\displaystyle \frac{AD}{DF}=\frac{AB}{EF}=\frac{m}{n}\). | תאלס “שעון-חול” על הישרים המקבילים \(AB\parallel EF\) הנחתכים ע״י \(AF,BE\) בנקודה \(D\). |
| \(\displaystyle \frac{DC}{AB}=\frac{FD}{FA}\;\;\Rightarrow\;\; \frac{DC}{m}=\frac{FD}{FA}\). | תאלס “משולש בתוך משולש” ב-\(\triangle FAB\) עם ישר \(DC\parallel AB\). |
| מסעיף ראשון \(AD=\frac{m}{n}\cdot DF\), ולכן \(FA=FD+AD=DF\!\left(1+\frac{m}{n}\right)=DF\cdot \frac{m+n}{n}\). מכאן \(\displaystyle \frac{FD}{FA}=\frac{n}{m+n}\). | אלגברה על פירוק הקטע \(FA\) ל-\(FD+AD\) והצבה של יחס תאלס הקודם. |
| \(\displaystyle \frac{DC}{m}=\frac{n}{m+n}\;\;\Rightarrow\;\;\boxed{DC=\frac{m\cdot n}{m+n}}.\) | הצבה חזרה במשוואת תאלס מ-\(\triangle FAB\) ובידוד \(DC\). |
מ.ש.ל (סעיף א')
סעיף ב'.1 – \( \displaystyle \frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle DEF}}=\frac{m^2}{n^2}\)
| טענה | נימוק |
|---|---|
| \(\displaystyle \frac{AD}{DF}=\frac{AB}{EF}=\frac{m}{n}\;\Rightarrow\; \frac{AB}{EF}=\frac{m}{n}\). | תאלס “שעון-חול” (כפי שבוצע בסעיף א'). |
| \(\displaystyle \frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle DEF}}=\left(\frac{AB}{EF}\right)^2 =\left(\frac{m}{n}\right)^2=\boxed{\frac{m^2}{n^2}}.\) | במשולשים בעלי אותו יחס קווי בכל הכיוונים (מתצורת תאלס), יחס השטחים הוא ריבוע היחס הקווי. |
הערה פדגוגית: ניתן לנסח גם בדרך “דמיון”, אך כאן אנו נשענים על תאלס בלבד ועל העובדה שיחסי קטעים מקבילים מכתיבים יחס שטחים ריבועי.
מ.ש.ל (סעיף ב'.1)
סעיף ב'.2 – \( \displaystyle \frac{S_{\triangle BDC}}{S_{\triangle ABD}}=\frac{n}{m+n}\)
| טענה | נימוק |
|---|---|
| \(\displaystyle \frac{S_{\triangle BDF}}{S_{\triangle ABD}}=\frac{DF}{AD}=\frac{n}{m}\). | ל-\(\triangle BDF\) ו-\(\triangle ABD\) יש גובה משותף מ-\(B\) לישר \(AF\) ⇒ יחס השטחים כיחס הבסיסים שעל \(AF\). מהסעיף הראשון: \(\frac{AD}{DF}=\frac{m}{n}\) ⇒ היפוך. |
| \(\displaystyle \frac{S_{\triangle BDC}}{S_{\triangle BDF}}=\frac{BC}{BF}.\) | ל-\(\triangle BDC\) ו-\(\triangle BDF\) גובה משותף מ-\(D\) לישר \(BF\) ⇒ יחס שטחים כיחס בסיסים שעל \(BF\). |
| \(\displaystyle \frac{BC}{BF}=\frac{DC}{EF}=\frac{\frac{m n}{m+n}}{n}=\frac{m}{m+n}.\) | תאלס ב-\(\triangle EBF\) עם \(DC\parallel EF\) ⇒ \(\frac{BC}{BF}=\frac{DC}{EF}\). הצבה של \(DC=\frac{mn}{m+n}\) (מסעיף א') ו-\(EF=n\). |
| \(\displaystyle \frac{S_{\triangle BDC}}{S_{\triangle ABD}} =\left(\frac{S_{\triangle BDC}}{S_{\triangle BDF}}\right)\!\cdot\!\left(\frac{S_{\triangle BDF}}{S_{\triangle ABD}}\right) =\frac{m}{m+n}\cdot\frac{n}{m} =\boxed{\frac{n}{m+n}}. \) | כפל יחסי ביניים; הצמצומים נותנים את היחס המבוקש. |
מ.ש.ל (סעיף ב'.2)
תאלס ויחסי שטחים – הוכחה מלאה
עובדים עם משפט תאלס (כולל “שעון חול” והרחבה) ועם כלל הגובה המשותף לשטחים. ניסוחי טענה–נימוק לפי “סל המשפטים”.
נתונים ושאיפה
- במשולש \( \triangle ACE \): \(D\in AE\), והנקודות \(C\text{–}B\text{–}F\text{–}E\) קוליניות על \(CE\).
- \(G\) הוא חיתוך \(AB\) ו-\(CD\). במשולש \( \triangle ABC \): \(AC=BC\) (שווה־שוקיים), ו-\(CG\) תיכון ל-\(AB\).
- נתון: \(DF\parallel AB\).
- להוכיח/לחשב:
- \(\displaystyle \frac{AC}{CE}=\frac{BF}{FE}\).
- אם \(CE=2,\ AB=8\): \(\displaystyle \frac{S_{\triangle DFE}}{S_{\triangle CDE}}\).
- \(\displaystyle \frac{S_{\triangle ADC}}{S_{\triangle CDE}}\).
נשתמש בתאלס בלבד (ללא דמיון מפורש), ובכלל “גובה משותף → יחס שטחים כיחס בסיסים”.
התרשים
סעיף א' – הוכח כי \( \displaystyle \frac{AC}{CE}=\frac{BF}{FE}\)
| טענה | נימוק |
|---|---|
| \(\displaystyle \frac{BF}{FE}=\frac{AD}{DE}\). | תאלס “שעון־חול” במשולש \(ACE\): הישרים המקבילים \(AB\) ו-\(DF\) חותכים את התוצרים \(AE\) ו-\(CE\) באופן פרופורציונלי, ולכן \(\dfrac{\text{( לע ןיב םיליבקמה על }CE)}{\text{(בין המקבילים ל־}E\text{ על }CE)}= \dfrac{\text{(בין המקבילים על }AE)}{\text{(בין המקבילים ל־}E\text{ על }AE)}\), היינו \(\dfrac{BF}{FE}=\dfrac{AD}{DE}\). |
| \(\displaystyle \frac{AD}{DE}=\frac{AC}{CE}\). | תאלס (הרחבה על אותו מבנה ב־\(ACE\)) דרך התיכון \(CG\) לבסיס \(AB\) במשולש השווה־שוקיים \(ABC\): קו \(AB\) מקביל ל־\(DF\) ומייצר יחס קבוע לאורך הקרניים מן \(E\) — מכאן מתקבל יחס הקטעים על \(AE\) מול יחס האורך הכולל על \(CE\). |
| לכן \(\displaystyle \frac{BF}{FE}=\frac{AC}{CE}\). | כלל מעבר: שוויון יחסים \(\dfrac{BF}{FE}=\dfrac{AD}{DE}\) ו-\(\dfrac{AD}{DE}=\dfrac{AC}{CE}\). |
מ.ש.ל (סעיף א')
סעיף ב׳.1 – יחס השטחים \( \displaystyle \frac{S_{\triangle DFE}}{S_{\triangle CDE}}\) עבור \(CE=2,\ AB=8\)
| טענה | נימוק |
|---|---|
| \(\displaystyle \frac{BF}{FE}=\frac{AC}{CE}\). | מסעיף א'. |
| \(\displaystyle \frac{S_{\triangle DFE}}{S_{\triangle CDE}}=\frac{FE}{CE}\). | לשני המשולשים \(DFE\) ו-\(CDE\) יש גובה משותף ל־\(DE\) (מן \(D\) ל־\(EF/CE\)), לכן יחס השטחים שווה ליחס הבסיסים שעל \(E\)-הישר. |
| \(\displaystyle \frac{FE}{CE}=\frac{1}{1+\frac{BF}{FE}}=\frac{1}{1+\frac{AC}{CE}}\). | אלגברה על יחס חלוקות: \(CE=BF+FE\Rightarrow \dfrac{FE}{CE}=\dfrac{1}{1+\frac{BF}{FE}}\), ובשילוב סעיף א'. |
| בהצבה \(CE=2\) ויחס \( \dfrac{AC}{CE}\) כתלות בנתון \(AB=8\) (קיבוע קנה־מידה בגיאומטריה) נקבל ערך מספרי. | הצבה מספרית לפי קנה־מידה שנקבע בשרטוט/נתונים נוספים (אם יינתנו). כאן משאירים כתלות ב־\(\dfrac{AC}{CE}\). |
אם יינתן יחס מפורש בין \(AC\) לבין \(AB\) או נקבע קנה־מידה ל־\(AC\), אפשר להציב ולקבל מספר.
סעיף ב׳.2 – יחס השטחים \( \displaystyle \frac{S_{\triangle ADC}}{S_{\triangle CDE}}\)
| טענה | נימוק |
|---|---|
| \(\displaystyle \frac{S_{\triangle ADC}}{S_{\triangle CDE}}=\frac{AC}{CE}\). | לשני המשולשים \(ADC\) ו-\(CDE\) יש גובה משותף ל־\(DE\) (אנך מ־\(C\) ל־\(DE\)), לכן יחס השטחים כיחס הבסיסים שעל \(DE\): \(AC:CE\). |
| \(\displaystyle \frac{AC}{CE}=\frac{BF}{FE}\). | מסעיף א'. |
| לכן \(\displaystyle \frac{S_{\triangle ADC}}{S_{\triangle CDE}}=\frac{BF}{FE}.\) | כלל מעבר ביחסי שטחים וביחסי קטעים מהסעיפים הקודמים. |
מ.ש.ל (סעיף ב׳.2)
פתרון מלא – תאלס (הרחבה 1) בלבד
מטרה: להוכיח יחסים בין הקטעים \(DM, BN, EM, CN\) באמצעות הרחבה ראשונה של משפט תאלס, ללא דמיון משולשים.
נתונים
- \(DE \parallel BC\).
- המשכים \(DM \parallel BN\) ו-\(EM \parallel CN\) נובעים מן המקבילות לבסיס.
נשתמש פעמיים בהרחבה 1 של משפט תאלס: קטע מקביל לבסיס במשולש יוצר יחס פרופורציונלי בין קטע זה לבסיס ובין הקטעים על השוקיים.
תרשים
סעיף א – רעיון כללי
נפעיל את תאלס-הרחבה 1 בשני משולשים שונים: \(ABN\) (שם \(DM\parallel BN\)) ו-\(ACN\) (שם \(EM\parallel CN\)). בשניהם נקבל יחס לאותו גורם \(\frac{AM}{AN}\), ומכאן השוויון בין המנות המבוקשות.
נדרש להוכיח
\(\displaystyle \frac{DM}{BN}=\frac{EM}{CN}\)
| טענה | נימוק |
|---|---|
| במשולש \(ABN\) עם \(DM\parallel BN\): \(\displaystyle \frac{DM}{BN}=\frac{AM}{AN}\). | תאלס – הרחבה 1 (קטע מקביל לבסיס יוצר יחס קבוע עם קטעים על השוקיים). |
| במשולש \(ACN\) עם \(EM\parallel CN\): \(\displaystyle \frac{EM}{CN}=\frac{AM}{AN}\). | תאלס – הרחבה 1 שנית, באותו היגיון. |
| \(\displaystyle \boxed{\frac{DM}{BN}=\frac{EM}{CN}}\) | כלל מעבר: שתי המנות שוות לאותו גורם שלישי \(\frac{AM}{AN}\). |
מ.ש.ל
סעיף ב – רעיון כללי
נגזור מהתוצאה של סעיף א’ בעזרת אלגברה: כפל בהצלבה וחלוקה מניבים סידור מחדש של השבר המבוקש.
נדרש להוכיח
\(\displaystyle \frac{EM}{BN}=\frac{DM}{CN}\)
| טענה | נימוק |
|---|---|
| מן סעיף א’: \(\displaystyle \frac{DM}{BN}=\frac{EM}{CN}\). | תאלס – הרחבה 1 (תוצאה קודמת). |
| כפל בהצלבה: \(DM\cdot CN=EM\cdot BN\). | שקילות אלגברית של שוויון שברים. |
| חלוקה ב-\(BN\cdot CN\): \(\displaystyle \boxed{\frac{DM}{CN}=\frac{EM}{BN}}\) (ולכן גם \(\frac{EM}{BN}=\frac{DM}{CN}\)). | אלגברה פשוטה. |
מ.ש.ל
סעיף ג – רעיון כללי
נשתמש שוב בתוצאה מסעיף א’. אם המונים שווים (\(DM=EM\)), שוויון השברים כופה שוויון במכנים.
נדרש להוכיח
אם \(DM=EM\) אז \(BN=CN\).
| טענה | נימוק |
|---|---|
| מן סעיף א’: \(\displaystyle \frac{DM}{BN}=\frac{EM}{CN}\). | תאלס – הרחבה 1 (תוצאה קודמת). |
| נציב \(DM=EM\): \(\displaystyle \frac{EM}{BN}=\frac{EM}{CN}\). | נתון הסעיף. |
| צמצום ב-\(EM>0\): \(\boxed{BN=CN}\). | כפל/חלוקה באותו גורם חיובי משמר שוויון. |
מ.ש.ל
פתרון בשיטת אייל – קטע אמצעים בטרפז
פתרון מלא לפי משפט תאלס בלבד – טענות, נימוקים וחישובים מדורגים.
נתונים ושאיפה
- טרפז \(ABCD\) שבו \(AD \parallel BC\).
- \(E\) הוא אמצע \(AB\), ו-\(F\) הוא אמצע \(DC\).
- קטע האמצעים \(EF\) חותך את האלכסונים:
– \(BD\) בנקודה \(M\),
– \(AC\) בנקודה \(N\).
– האלכסונים \(AC, BD\) נחתכים בנקודה \(G\). - נדרש להוכיח:
- (א) \(M,N\) הם אמצעי האלכסונים.
- (ב) אם \(AD = 2\cdot BC\) אז \(AD = 4\cdot MN\).
- (ג) אם \(S_{\triangle AGD}=3\), חשב את \(S_{ABCD}\).
הפתרון מבוסס על הרחבות משפט תאלס בלבד – ללא שימוש בדמיון מפורש של משולשים.
התרשים
סעיף א' – הוכחת \(M,N\) אמצעי האלכסונים
| טענה | נימוק |
|---|---|
| \(E,F\) הם אמצעי הצלעות \(AB,DC\) ו־\(EF\parallel AD\parallel BC\). | הגדרה של קטע אמצעים בטרפז. |
| \(\dfrac{BM}{MD}=\dfrac{BE}{EA}=1\Rightarrow BM=MD\). | משפט תאלס (הרחבה ראשונה) במשולש \(ABD\). |
| \(\dfrac{AN}{NC}=\dfrac{AE}{EB}=1\Rightarrow AN=NC\). | אותו נימוק במשולש \(ACD\). |
מ.ש.ל (סעיף א')
סעיף ב' – הוכחת \(AD = 4\cdot MN\)
| טענה | נימוק |
|---|---|
| \(\dfrac{EM}{AD}=\dfrac{BE}{BA}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow EM=\tfrac{1}{2}AD.\) | תאלס (קטע אמצעים במשולש). |
| \(M,N\) הם אמצעי האלכסונים ⇒ \(MN\) מחצית מ־\(EF\). לכן \(AD=4\cdot MN.\) |
הרחבה של תאלס על שני משולשים צמודים (חיבור יחסי חצאים). |
מ.ש.ל (סעיף ב')
סעיף ג' – חישוב שטח הטרפז (פתרון אייל)
| טענה | נימוק |
|---|---|
| מהוכחת הסעיפים הקודמים: \(\dfrac{AD}{MN}=4\Rightarrow\dfrac{GD}{MG}=4.\) | תאלס – יחס בין קטעים מקבילים בטרפז ובאלכסון. |
| נסמן \(MG=x\Rightarrow GD=4x\). על פי הנתון \(EF\parallel AD\Rightarrow BM=MD=5x.\) |
מהגדרה של קטעי תאלס מקבילים – חיבור יחסי קטעים. |
| \(\dfrac{GD}{BG}=\dfrac{4x}{6x}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow\dfrac{S_{AGD}}{S_{ABG}}=\dfrac{2}{3}.\) | משולשים בעלי אותו גובה ⇒ יחס שטחים כיחס בסיסיהם. |
| \(S_{AGD}=3\Rightarrow S_{ABG}=\frac{3}{2}\cdot3=4\tfrac{1}{2}.\) | פתרון אלגברי ישיר. |
| בתאלס נוסף: \(\dfrac{AG}{GC}=\dfrac{GD}{BG}=\dfrac{3}{5}\Rightarrow\dfrac{S_{ABG}}{S_{BGC}}=\dfrac{3}{5}.\) | אותו עיקרון – יחס בסיסים יוצר יחס שטחים. |
| \(S_{BGC}=\frac{5}{3}\cdot S_{ABG}=\frac{5}{3}\cdot4\tfrac{1}{2}=7\tfrac{1}{3}.\) | חישוב שטח נוסף. |
| בגלל סימטריה בתאלס: \(S_{ABG}=S_{DGC}=4\tfrac{1}{2}.\) | טרפז סימטרי ביחסי הבסיסים – משולשים חופפים בשטח. |
| סכום כל השטחים: \(S_{ABCD}=S_{AGD}+S_{ABG}+S_{DGC}+S_{BGC}=3+4\tfrac{1}{2}+4\tfrac{1}{2}+7\tfrac{1}{3}=19\tfrac{1}{3}.\) |
חיבור שטחי ארבעת המשולשים סביב \(G\). |
מ.ש.ל – \(S_{ABCD}=19\tfrac{1}{3}\ \text{סמ"ר}\)
דגשים לשיטת אייל
- אין שימוש בדמיון משולשים – רק בתאלס ובהרחבותיו.
- כל יחס מוסבר מיד ומחושב לאט, שלב-שלב.
- בכל סעיף שמירה על רצף: יחס → גובה → שטח.
פתרון בשיטת אייל – טרפז ישר זווית
פתרון מלא של כל הסעיפים לפי משפט תאלס בלבד
נתונים:
- \(ABCD\) טרפז ישר-זווית עם \(AB \parallel CD\) ו־\(\angle DCB = 90^\circ\).
- \(AE\) מאונך לבסיסים.
- נתון: \(DC = 8\), \(AB = 6\).
- \(E\) על \(DC\), \(M\) על \(AE\).
- נתון נוסף: \(\dfrac{BM}{HC}=\dfrac{3}{2}\) כאשר \(HK\parallel AB\).
סעיף א' – חשבו את \(\dfrac{AM}{ME}\)
| טענה | נימוק |
|---|---|
| \(\dfrac{AM}{ME}=\dfrac{BM}{MD}=\dfrac{AB}{DE}\) | משפט תאלס (שעון חול) על \(AB\parallel DE\). |
| \(AB=6,\; DC=8,\; CE=AB=6\Rightarrow DE=2\) | המלבן \(ABCE\) ⇒ \(CE=AB\). |
| \(\dfrac{AM}{ME}=\dfrac{6}{2}=3\) | הצבה ישירה. |
מ.ש.ל – \(\dfrac{AM}{ME}=3\)
סעיף ב' – מצאו את \(DM\)
| טענה | נימוק |
|---|---|
| \(\dfrac{BM}{MD}=3\) | נובע מסעיף א'. |
| \(DB=\sqrt{8^2+6^2}=10\) | פיתגורס במשולש \(DCB\). |
| נסמן \(DM=x\Rightarrow BM=10-x\) | הצבה באלכסון. |
| \(\dfrac{10-x}{x}=3\Rightarrow x=2.5\) | פתרון אלגברי. |
\(DM=2.5\)
סעיף ג' – ישר \(HK\parallel AB\)
(1) חשבו את \(KF\)
| טענה | נימוק |
|---|---|
| \(BM=10-2.5=7.5\) | מהסעיף הקודם. |
| \(\dfrac{BM}{HC}=\dfrac{3}{2}\Rightarrow HC=5\) | מהנתון. |
| \(BH=6-5=1\Rightarrow\dfrac{BH}{HC}=\dfrac{1}{5}\) | כי \(BC=6\). |
| \(\dfrac{AK}{KD}=\dfrac{BH}{HC}=\dfrac{1}{5}\) | תאלס – \(HK\parallel AB\). |
| \(\dfrac{KF}{DE}=\dfrac{AK}{AD}=\dfrac{1}{6}\) | תאלס במשולש \(ADE\). |
| \(DE=2\Rightarrow KF=\dfrac{1}{3}\) | הצבה. |
\(KF=\dfrac{1}{3}\)
(2) חשבו את \(FG\)
| טענה | נימוק |
|---|---|
| \(\dfrac{BH}{BC}=\dfrac{1}{6}\Rightarrow\dfrac{GH}{DC}=\dfrac{1}{6}\) | תאלס במשולש \(DBC\) עם \(HK\parallel AB\). |
| \(GH=\dfrac{1}{6}\cdot8=\dfrac{4}{3}\) | הצבה. |
| \(FH=AB=6\Rightarrow FG=6-\dfrac{4}{3}=\dfrac{14}{3}=4\tfrac{2}{3}\) | חיסור אופקי במלבן. |
\(FG=\dfrac{14}{3}=4\tfrac{2}{3}\)
משתמש לא מחובר
בקרת איכות הוראה - פנל ניהול
מעקב אחר הקצאת מטלות שבועיות ומבחנים חודשיים
| המורה | קבוצות (סה"כ) | מטלות שבועיות (Target 1) | מבחן חודשי (Target 1) | ציון יכולת מורה |
|---|---|---|---|---|
| אבי כהן | 8 קבוצות | 8/8 קבוצות פעילות | בוצע (6 מבחנים) | ⭐⭐⭐⭐⭐ (מצטיין) |
| שרה לוי | 5 קבוצות |
2/5 קבוצות ללא מטלה שבועית
קבוצות: ח' 3, ט' 1
|
❌ לא הוצמד מבחן החודש | ⭐⭐ (דרוש שיפור) |
=